Cobordismo

Em matemática, o cobordismo é uma relação de equivalência fundamental na classe de variedades compactas da mesma dimensão, configurada usando o conceito de fronteira (bord francês, dando cobordismo) de uma variedade. Duas variedades da mesma dimensão são cobordantes se a união disjunta for o limite de uma variedade compacta uma dimensão mais alta.

O limite de uma (n + 1)-variedade tridimensional W é uma variedade n-dimensional ∂W fechada, ou seja, com limite vazio. Em geral, uma variedade fechada não precisa ser um limite: a teoria do cobordismo é o estudo da diferença entre todas as variedades fechadas e aquelas que são limites. A teoria foi desenvolvida originalmente por René Thom para variedades suaves (ou seja, diferenciáveis), mas agora também existem versões para variedades topológicas e lineares por partes.

Um cobordismo entre as variedades M e N é uma variedade compacta W cujo limite é a união disjunta de M e N, ${\displaystyle \partial W=M\sqcup N}$.

Os cobordismos são estudados tanto pela relação de equivalência que eles geram quanto como objetos por si só. O cobordismo é uma relação de equivalência muito mais grossa que o difeomorfismo ou o homeomorfismo das variedades, e é significativamente mais fácil de estudar e calcular. Não é possível classificar variedades até difeomorfismo ou homeomorfismo em dimensões ≥ 4 - porque a palavra problema para grupos não pode ser resolvida - mas é possível classificar variedades até cobordismo. Cobordismos são objetos centrais de estudo em topologia geométrica e topologia algébrica. Na topologia geométrica, os cobordismos estão intimamente ligados à teoria de Morse, e os cobordismos h são fundamentais no estudo de variedades de alta dimensão, a saber, a teoria da cirurgia. Na topologia algébrica, as teorias de cobordismo são teorias de cohomologias extraordinárias fundamentais, e as categorias de cobordismos são os domínios das teorias topológicas de campos quânticos.