Factorial

En matemàtiques, el factorial d'un enter no negatiu ${\displaystyle n}$, denotat per ${\displaystyle n!}$ (en alguns llibres antics es pot trobar denotat per ${\displaystyle {\begin{array}{|c}n\\\hline \end{array}}}$),^[1] és el producte de tots els nombres enters positius inferiors o iguals a ${\displaystyle n}$.

${\displaystyle n!=1\times 2\times 3\times 4\times ...\times n}$

Per exemple,

${\displaystyle 5!=1\times 2\times 3\times 4\times 5=120}$

El valor de ${\displaystyle 0!}$ és 1, d'acord amb la convenció d'un producte buit.^[2]

L'operació factorial es troba en moltes àrees de les matemàtiques, principalment en combinatòria, àlgebra i anàlisi matemàtica. La seva aparició més bàsica és el fet que hi ha ${\displaystyle n!}$ formes d'organitzar objectes diferents en una seqüència (és a dir, permutacions del conjunt d'objectes). Aquest fet ja era conegut pels erudits indis, almenys ja al segle xii.^[3] En 1677, Fabian Stedman va descriure els factorials aplicats per canviar el timbre.^[4] Després de descriure un enfocament recursiu, Stedman va donar una declaració de factorial (usant el llenguatge de l'original):

La notació ${\displaystyle n!}$ va ser introduïda pel matemàtic francès Christian Kramp el 1808.^[6][7]

La definició de la funció factorial també es pot ampliar a arguments no enters, tot conservant les seves propietats més importants; això implica matemàtiques més avançades, especialment tècniques d'anàlisi matemàtica.