Srednja vrijednost

Srednja vrijednost ili prosječna vrijednost je jedan od statističih pokazatelja centralne tendencije određenog skupa mjerenja. Postoji nekoliko njenih tipova u raznim granam matematike (a posebno statistike).

Za skup podataka, aritmetička sredina, koja se naziva i matematičko očekivanje ili prosjek, je centralna vrijednost diskretnog skupa brojeva: konkretno, zbir tih vrijednosti podeljen sa njihovim brojem. Aritmetička sredina skupa brojeva ${\displaystyle x}$₁, ${\displaystyle x}$₂, ... → ${\displaystyle x}$_n obično se označava kao ${\displaystyle {\bar {x}}}$, izgovara se "${\displaystyle x}$ sa crtom”. Ako se skup podataka zasniva na nizu opažanja dobijenih uzimanjem uzorka iz statističke populacije, aritmetička sredina je srednja vrijednost uzorka (označena ${\displaystyle {\bar {x}}}$), da bi se razlikovala od srednje vrijednosti ishodišne distribucije, populacijske srednje vrijednosti (označene sa ${\displaystyle \mu }$ ili ${\displaystyle \mu _{x}}$).^[1]

U procjeni vjerovatnoće i statistici, populacijska sredina ili očekivana vrijednost mjerilo su centralne tendencije,bilo raspodjele vjerovatnoće ili slučajne promenljive koju karakterizira data distribucija.^[2] U slučaju diskretne raspodjele vjerovatnoće slučajno promenljive ${\displaystyle X}$, prosjek je jednak zbiru svih mogućih vrijednosti ponderiranih njihovom vjerovatnoćom, tj. izračunava se uzimajući proizvod svih mogućih vrijednosti ${\displaystyle x}$ iz ${\displaystyle X}$ i njegove vjerovatnoće ${\displaystyle p}$(${\displaystyle x}$, a zatim sabiranjem svih tih proizvoda zajedno, što daje ${\displaystyle \mu =\sum xp(x)}$.^[3][4] Analogna formula odnosi se na slučaj kontinuirane distribucije vejrovatnoće. Definiranu srednju vrijednost nema svaka distribucija vjerovatnoće. To je na primjer slučaj sa Cauchyijevavom distribucijom. Štaviše, za neke distribucije srednja vrijednost je beskonačna.

Za konačnu populaciju, populacijska srednja vrijednost svojstva jednaka je aritmetičkoj sredini datog svojstva, uzimajući u obzir svaki član populacije. Naprimjer, prosječna visina populacije jednaka je zbiru visina svakog pojedinca podeljeno sa ukupnim brojem jedinki. Srednja vrijednost uzorka može se razlikovati od prosjeka populacije, posebno za male uzorke. Zakon velikih brojeva uslovljava da što je veća veličina uzorka, veća je vjerovatnoća da će srednja vrijednost uzorka biti blizu populacjskie sredine.^[5]

Izvan vjerovatnoće i statistike, u geometriji i matematičkoj analizi često se koristi širok spektar drugih pojmova "srednje vrijednosti", koji su dati ispod.

1. ^ Underhill, L.G.; Bradfield d. (1998) Introstat, Juta and Company Ltd. ISBN 0-7021-3838-X p. 181
2. ^ Feller, William (1950). Introduction to Probability Theory and its Applications, Vol I. Wiley. str. 221. ISBN 0471257087.
3. ^ Elementary Statistics by Robert R. Johnson and Patricia J. Kuby, p. 279
4. ^ Weisstein, Eric W. "Population Mean". mathworld.wolfram.com (jezik: engleski). Pristupljeno 21. 8. 2020.
5. ^ Schaum's Outline of Theory and Problems of Probability by Seymour Lipschutz and Marc Lipson, p. 141