Espai vectorial

Un espai vectorial és, en matemàtiques, i més concretament en àlgebra lineal, una estructura algebraica formada per un conjunt de vectors. Els vectors són objectes que es poden sumar entre ells i es poden multiplicar per un nombre, que en aquest context s'anomena escalar, i "aplicar-los un factor d'escala". Sovint es considera que els escalars són nombres reals, però també es poden definir espais vectorials amb la multiplicació escalar per nombres complexos, nombres racionals o, fins i tot, cossos més generals en lloc de fer servir cossos de nombres. Les operacions d'addició vectorial i multiplicació escalar han de satisfer certs requisits, anomenats axiomes, que es descriuen a la secció d'aquest article on es dona la definició formal d'espai vectorial.

Un exemple d'espai vectorial és el dels vectors euclidians, que es fan servir sovint per representar quantitats físiques com ara forces. Dues forces qualssevol (que tinguin el mateix punt d'aplicació) es poden sumar, substituint-les per una tercera força que produeixi el mateix efecte que si s'apliquen les dues alhora, i la multiplicació d'un vector força per un factor real és un altre vector força que té el mateix punt d'aplicació, direcció i sentit però el mòdul del qual s'ha multiplicat pel factor real. Un altre exemple més purament geomètric són els vectors que representen desplaçaments al pla o en l'espai tridimensional, que també formen un espai vectorial.

Els espais vectorials són l'objecte d'estudi de l'àlgebra lineal i, des d'aquest punt de vista, se'n té una comprensió profunda atès que els espais vectorials es caracteritzen per la seva dimensió que, a grans trets, especifica el nombre de direccions independents a l'espai. La teoria s'amplia introduint en els espais vectorials alguna estructura addicional, com ara una norma o un producte escalar. Aquesta mena d'espais sorgeixen de manera natural en l'anàlisi matemàtica, principalment en la forma d'espais de funcions de dimensió infinita, els vectors dels quals són funcions. Hi ha problemes analítics que requereixen l'habilitat de decidir si una successió de vectors convergeix en un vector donat. Això s'aconsegueix fent servir espais vectorials amb estructures addicionals, principalment espais dotats d'una topologia adequada, que d'aquesta manera permeten definir conceptes de proximitat i continuïtat. Aquests espais vectorials topològics, en particular els espais de Banach i els espais de Hilbert, tenen una teoria més extensa.

Històricament, les primeres idees que condueixen al concepte d'espai vectorial es poden remuntar fins al segle xvii amb els desenvolupaments de la geometria analítica, les matrius, els sistemes d'equacions lineals, i els vectors euclidians. El tractament modern, més abstracte, va ser formulat inicialment per Giuseppe Peano a finals del segle xix; inclou objectes més generals que l'espai euclidià, però gran part de la teoria es pot veure com una ampliació de les idees geomètriques clàssiques com ara línies rectes, plans i els seus anàlegs de dimensió superior.

Actualment, els espais vectorials s'apliquen a les matemàtiques, la ciència i l'enginyeria. Són la noció algebraica adequada per tractar sistemes d'equacions lineals, ofereixen una estructura per a les sèries de Fourier, que es fan servir en tècniques de compressió d'imatge, o proporciona un entorn que es pot fer servir per tècniques de solució d'equacions diferencials en derivades parcials. A més, els espais vectorials subministren una forma abstracta, independent del sistema de coordenades, per tractar amb objectes geomètrics i físics com tensors, els quals permeten examinar les propietats locals de les varietats per tècniques de linealització. Els espais vectorials també es poden generalitzar de diverses maneres, i això porta a nocions avançades de geometria i àlgebra abstracta.