Programa d'Erlangen

Aquest article o secció no cita les fonts o necessita més referències per a la seva verificabilitat.

El Programa d'Erlangen és un mètode de caracterització de geometries basada en la teoria de conjunts i geometria projectiva. Es tracta d'un programa de recerca publicat per Felix Klein en 1872 amb el títol de Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Aquest Programa d'Erlangen - en aquell temps Klein era professor de la universitat d'Erlangen - va proposar un nou tipus de solució als problemes de la geometria sobre una base geometria projectiva i teoria de grups.

En aquest temps, havia sorgit una família de noves geometries no euclidianes, però mancaven els aclariments adients de les seves relacions mútues. El suggeriment de Klein era fonamentalment innovador de tres maneres:

• La geometria projectiva es va posar èmfasi en el marc unificador per a totes les geometries que es consideri. En particular, les geometries afí, mètriques, i euclidiana són especials i a poc a poc es mostren com a casos més restrictius de la geometria projectiva.

• Klein va proposar que la teoria de grups, una branca de les matemàtiques que utilitza mètodes algebraics per abstreure la idea de simetria, és la forma més útil d'organitzar el coneixement geomètric, en el moment en què ja havia estat introduït en la teoria d'equacions en la forma de la teoria de Galois.

• Klein va fer molt més explícita la idea que cada llenguatge geomètric tenia els seus propis conceptes, apropiades, així per exemple la geometria projectiva amb raó, va parlar sobre les seccions còniques, però no es tracta de cercles o angles, perquè aquestes idees no eren invariants sota transformacions projectives (alguna cosa familiar en la perspectiva geomètrica). La manera com els diversos idiomes de la geometria a continuació es van tornar a unir podria explicar-se pels subgrups de la manera d'un grup de simetria relacionats entre si.

Més tard, Élie Cartan generalitzà model homogeni de Klein als espais (Cartan) connexions en certs paquets principals, situant el problema en el marc de la geometria de Riemann. L'article en si suposa una veritable fita en la història de la Geometria i de la Matemàtica en general.