Cauchy-Schwarz' ulighed

I matematikken er Cauchy-Schwarz' ulighed, også kendt som Schwarzuligheden, Cauchyuligheden eller Cauchy-Bunjakovskij-Schwarz-uligheden, opkaldt efter Augustin Louis Cauchy, Viktor Jakovlevich Bunjakovskij og Hermann Amandus Schwarz, en nyttig ulighed, der stødes på på flere forskellige områder, såsom i lineær algebra anvendt på vektorer, i analyse anvendt på uendelige rækker og integration af produkter og i sandsynlighedsteori anvendt på varianser og covarianser.

Uligheden siger, at hvis x og y er elementer i et reelt eller komplekst indre produkt-rum gælder, at

${\displaystyle |\langle x,y\rangle |^{2}\leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle .}$

De to sider er lig hinanden hvis og kun hvis x og y er lineært afhængige (eller i geometrisk forstand; at de er parallelle.) Dette står i kontrast til den egenskab, at det indre produkt af to vektorer er nul, hvis og kun hvis de er ortogonale (eller vinkelrette) på hinanden.

Uligheden giver dermed mening til idéen om "en vinkel mellem to vektorer" i forbindelse med et indre produkt, hvor begreberne fra Euklidisk geometri ikke umiddelbart giver mening, og det retfærdiggør den opfattelse, at indre produkt-rum er generaliseringer af euklidiske vektorrum.

En vigtig følge af Cauchy-Schwarz' ulighed er, at det indre produkt er en kontinuert funktion.

En anden version af Cauchy-Schwarz' ulighed er givet ved brug af normnotation, idet

${\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\cdot \|y\|.\,}$

Det endeligdimensionale tilfælde af uligheden blev vist af Cauchy i 1821, og beviset for det generelle tilfælde blev publiceret af Bunjakovskij i 1859. Schwarz' arbejde fremkom blot 25 år senere.