Differentialligning

Der er for få eller ingen kildehenvisninger i denne artikel, hvilket er et problem. Du kan hjælpe ved at angive troværdige kilder til de påstande, som fremføres i artiklen.

En differentialligning er en ligning, hvori der indgår en (ubekendt) funktion^[1] og dens afledede.^[2] At løse differentialligningen vil sige at finde en funktion, som tilfredsstiller denne.^[3]

Den helt generelle form for en n'te ordens lineær differentialligning ser således ud:

${\displaystyle a_{n}{\operatorname {d} \!^{n}y \over \operatorname {d} \!t^{n}}+a_{n-1}{\operatorname {d} \!^{n-1}y \over \operatorname {d} \!t^{n-1}}+\dots +a_{1}y=u(t)\quad ,\quad a_{n}\neq 0}$

Såfremt ${\displaystyle u(t)}$ er lig nul, siger man, at differentialligningen er homogen, og i alle andre tilfælde, at den er inhomogen.^[4]

En differentiallignings orden afhænger af, hvor mange gange der højest er differentieret. Ordenen kan således være fra et og opefter.

Eksempel: Hastighed og acceleration

Et eksempel på benyttelse af differentialligninger i hverdagen er beskrivelsen af hhv. hastighed og acceleration i én dimension.^[5] Hastigheden ${\displaystyle v}$ er defineret^[6] som ændring i position ${\displaystyle s}$ pr. tidsændring ${\displaystyle t}$:

${\displaystyle v={\operatorname {d} \!s \over \operatorname {d} \!t}}$

Samtidig er acceleration ${\displaystyle a}$ ændringen i hastighed pr. tidsændring:^[7]

${\displaystyle a={\operatorname {d} \!v \over \operatorname {d} \!t}={\operatorname {d} \!^{2}s \over \operatorname {d} \!t^{2}}}$

Dette er eksempler på differentialligninger af hhv. første og anden orden, idet man kan opfatte både strækning og hastighed, som en funktion, der afhænger af tiden.

Flere praktiske eksempler er differentialligninger til beskrivelse af elektriske kredsløb eller til beskrivelse af et masse-fjedersystem. Her tænkes der på en masse, som er fastmonteret til en fjeder, hvorefter fjederen bliver strakt ud. Beskrivelsen af den oscillerende bevægelse frem og tilbage beskrives typisk også med en differentialligning. Dette er kun ganske få udpluk af utallige praktiske anvendelser.

1. ^ "Arkiveret kopi". Arkiveret fra originalen 14. februar 2020. Hentet 13. april 2020.
2. ^ Carstensen, Jens & Frandsen, Jesper (1985): Matematik 2 - Matematik for gymnasiets matematisk-fysiske gren. Forlaget Systime, Herning. ISBN 87-7351-287-7 (s. 224)
3. ^ Hebsgaard (1990) s. 67
4. ^ https://brushup.aau.dk/2020e/mat-intensiv/aalborg/?file=upload/oplaeg26.pdf (Webside ikke længere tilgængelig)
5. ^ "Arkiveret kopi" (PDF). Arkiveret (PDF) fra originalen 23. november 2018. Hentet 11. november 2020.
6. ^ "Arkiveret kopi". Arkiveret fra originalen 18. februar 2020. Hentet 24. april 2020.
7. ^ Udregning af hastighed | Ingeniøren