Komplekse tal

Ved et komplekst tal^[1][2][3][4] forstås en størrelse ${\displaystyle z}$, som er en sum af to komponenter, ét reelt tal (realdelen) og et andet reelt tal (imaginærdelen) ganget med den imaginære enhedsstørrelse ${\displaystyle \mathrm {i} }$. Et komplekst tal kan derfor repræsenteres ved to reelle tal, og illustreres som et punkt i et koordinatsystem kaldet et Argand-diagram med en reel og en imaginær akse.

Et komplekst tal skrives på formen

${\displaystyle z=a+b\cdot \mathrm {i} ,\quad a\in \mathbb {R} ,\;b\in \mathbb {R} }$

hvor ${\displaystyle a}$ og ${\displaystyle b}$ som angivet er vilkårlige reelle tal og hvor ${\displaystyle \mathrm {i} }$ er en særligt konstrueret størrelse med egenskaben

${\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1}$

Da det for ethvert reelt tal ${\displaystyle a}$ gælder, at ${\displaystyle a^{2}\geqq 0}$, kan ${\displaystyle \mathrm {i} }$ ikke være et reelt tal; størrelsen kaldes den imaginære enhed. Populært omtales ${\displaystyle \mathrm {i} }$ også som "kvadratroden af -1", og det er netop en af de kendetegnende egenskaber ved komplekse tal, at et komplekst tal opløftet i 2. potens kan blive et negativt tal (modsat de reelle tal hvor selv et negativt tal i 2. potens altid er et positivt resultat).

En stringent definition af de komplekse tal ${\displaystyle \mathbb {C} }$ og den imaginære enhed ${\displaystyle \mathrm {i} }$ gives i dette afsnit. Den historiske udvikling beskrives i det historiske afsnit. Endelig er der et afsnit om anvendelse i matematik, fysik og teknik.

1. ^ Fodnotefejl: Ugyldigt <ref>-tag; ingen tekst er angivet for referencer med navnet KR
2. ^ Fodnotefejl: Ugyldigt <ref>-tag; ingen tekst er angivet for referencer med navnet Esrom
3. ^ Fodnotefejl: Ugyldigt <ref>-tag; ingen tekst er angivet for referencer med navnet Carstensen
4. ^ Fodnotefejl: Ugyldigt <ref>-tag; ingen tekst er angivet for referencer med navnet Hax