Grenzwert (Folge)

Der Grenzwert oder Limes einer Folge von Zahlen ist eine Zahl, der die Folgenglieder beliebig nahekommen und zwar so, dass in jeder Umgebung des Grenzwerts fast alle Folgenglieder liegen. Besitzt eine Folge einen solchen Grenzwert, so spricht man von Konvergenz der Folge – die Folge ist konvergent; sie konvergiert –, andernfalls von Divergenz.

Ein Beispiel für eine konvergente Folge ist ${\displaystyle a_{n}={\tfrac {1}{n}}}$, mit wachsendem ${\displaystyle n}$ kommt sie der Zahl 0 beliebig nahe, dies ist also ihr Grenzwert. Eine solche Folge nennt man auch Nullfolge. Die konstante Folge ${\displaystyle a_{n}=c}$ konvergiert ebenfalls, ihr Grenzwert ist gerade die Zahl ${\displaystyle c}$. Hingegen divergiert die Folge ${\displaystyle a_{n}=(-1)^{n}}$, da sie sich nicht nur einer Zahl annähert, sondern zwischen den beiden Werten −1 und 1 alterniert („hin und her springt“).

Damit die Folgenglieder einem anderen Wert, dem angepeilten Limes, beliebig nahekommen, müssen ihre Differenzen beliebig klein werden, also eine Nullfolge bilden. Um diesen Effekt deutlich zu machen (und das ist nicht selten beabsichtigt), wählt man diese Differenzen als Glieder. Man muss sie dann aber durch Additionszeichen miteinander verbinden – eine Darstellungsform, die Reihe genannt wird. Die Folge der Partialsummen dieser Reihe ist wieder gleich der ursprünglichen Folge, und die Begriffe Konvergenz, Divergenz und Grenzwert der Reihe werden mit denen der ursprünglichen Folge gleichgesetzt.

Der Grenzwert einer Folge ist nicht nur für Zahlenfolgen definiert, sondern ganz genau so für Folgen, deren Glieder einem metrischen Raum angehören, d. h., dass zwischen ihnen ein reellwertiger Abstand definiert ist. In einer weiteren Verallgemeinerung genügt auch ein topologischer Raum; dort lässt sich auch ohne Metrik der Begriff Umgebung definieren, der hier gebraucht wird. Siehe dazu die Abschnitte Grenzwert einer Folge von Elementen eines metrischen Raumes und eines topologischen Raumes.

Die Konvergenz ist ein grundlegendes Konzept der modernen Analysis. Im allgemeineren Sinne wird es in der Topologie behandelt.

In der altgriechischen Philosophie und Mathematik stand der Grenzwertbegriff noch nicht zur Verfügung, siehe beispielsweise Achilles und die Schildkröte. Die moderne Formulierung des Grenzwertbegriffs („für jede noch so kleine Abweichung gibt es einen ersten Index …“) taucht erstmals 1816 bei Bernard Bolzano auf,^[1] später weiter formalisiert durch Augustin-Louis Cauchy und Karl Weierstraß.

1. ↑ Bernard Bolzano: Der binomische Lehrsatz und als Folgerung aus ihm der polynomische, und die Reihen, die zur Berechnung der Logarithmen und Exponentialgrößen dienen, genauer als bisher erwiesen. Enders, Prag 1816 (google.at).