Intervall (Mathematik)

Als Intervall wird in der Analysis, der Ordnungstopologie und verwandten Gebieten der Mathematik eine „zusammenhängende“ Teilmenge einer total (oder linear) geordneten Trägermenge (zum Beispiel der Menge der reellen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {R} }$) bezeichnet. Ein (beschränktes) Intervall besteht aus allen Elementen ${\displaystyle x}$, die man mit zwei begrenzenden Elementen der Trägermenge (Intervallgrenzen), der unteren Grenze ${\displaystyle a}$ und der oberen Grenze ${\displaystyle b}$ des Intervalls, der Größe nach vergleichen kann und die im Sinne dieses Vergleichs zwischen den Grenzen liegen. Dabei können die Grenzen des Intervalls dem Intervall angehören (abgeschlossenes Intervall, ${\displaystyle a\leq x\leq b}$), nicht angehören (offenes Intervall ${\displaystyle a<x<b}$) oder teilweise angehören (halboffenes Intervall, ${\displaystyle a\leq x<b}$; ${\displaystyle a<x\leq b}$).

Zusammenhängend bedeutet hier: Wenn zwei Objekte in der Teilmenge enthalten sind, dann sind auch alle Objekte, die (in der Trägermenge) dazwischen liegen, darin enthalten. Die wichtigsten Beispiele für Trägermengen sind die Mengen der reellen, der rationalen, der ganzen und der natürlichen Zahlen. In den genannten Fällen und allgemeiner immer dann, wenn eine Differenz zwischen zwei Elementen der Trägermenge erklärt ist, bezeichnet man die Differenz zwischen der oberen und unteren Grenze des Intervalls (${\displaystyle b-a}$) als Länge des Intervalls oder kurz Intervalllänge; für diese Differenz ist auch die Bezeichnung Intervalldurchmesser geläufig. Wenn ein arithmetisches Mittel der Intervallgrenzen erklärt ist, wird dieses als Intervallmittelpunkt bezeichnet.