Lineares Gleichungssystem

Ein lineares Gleichungssystem (kurz LGS) ist in der linearen Algebra eine Menge linearer Gleichungen mit einer oder mehreren Unbekannten, die alle gleichzeitig erfüllt sein sollen.

Ein entsprechendes System für drei Unbekannte ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$ sieht beispielsweise wie folgt aus:

${\displaystyle {\begin{matrix}3x_{1}&+&2x_{2}&-&x_{3}&=&1\\2x_{1}&-&2x_{2}&+&4x_{3}&=&-2\\-x_{1}&+&{1 \over 2}x_{2}&-&x_{3}&=&0\end{matrix}}}$

Für ${\displaystyle x_{1}=1,\ x_{2}=-2,\ x_{3}=-2}$ sind alle drei Gleichungen erfüllt, es handelt sich um eine Lösung des Systems. Diese besteht also im Unterschied zur Lösungsmenge einer einzigen Gleichung in diesem Beispiel – alle Punkte einer Ebene im dreidimensionalen Raum – aus einem n-Tupel, in diesem Fall einem Zahlentripel. Dieses wird auch als Lösungsvektor bezeichnet. Zur Anzahl der möglichen Lösungen siehe den Abschnitt Lösbarkeit.

Allgemein lässt sich ein lineares Gleichungssystem mit ${\displaystyle m}$ Gleichungen und ${\displaystyle n}$ Unbekannten immer in die folgende Form bringen:

${\displaystyle {\begin{matrix}a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}\,+&\dotsb &+\,a_{1n}x_{n}&=&b_{1}\\a_{2,1}x_{1}+a_{2,2}x_{2}\,+&\dotsb &+\,a_{2n}x_{n}&=&b_{2}\\&&&\vdots &\\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}\,+&\dotsb &+\,a_{mn}x_{n}&=&b_{m}\\\end{matrix}}}$

Lineare Gleichungssysteme werden als homogen bezeichnet, wenn alle ${\displaystyle b_{i}}$ gleich 0 sind, andernfalls als inhomogen. Homogene Gleichungssysteme besitzen stets mindestens die sogenannte triviale Lösung, bei der alle Variablen gleich 0 sind. Bei inhomogenen Gleichungssystemen kann dagegen der Fall eintreten, dass überhaupt keine Lösung existiert.