Peano-Arithmetik

Die Peano-Arithmetik (erster Stufe, kurz PA) ist eine Theorie der Arithmetik, also der natürlichen Zahlen, innerhalb der Prädikatenlogik erster Stufe. Als Axiome werden die Peano-Axiome verwendet, wobei das Induktionsaxiom durch ein Axiomenschema ersetzt werden muss. Da in der Prädikatenlogik erster Stufe keine Quantifikation in Prädikatposition möglich ist, benötigt man für jede Formel ${\displaystyle \phi (x,y_{1},\dots ,y_{k})}$ das Axiom

${\displaystyle \forall y_{1}\dots \forall y_{k}(\phi (0,y_{1},\dots ,y_{k})\land \forall x(\phi (x,y_{1},\dots ,y_{k})\rightarrow \phi (x+1,y_{1},\dots ,y_{k}))\rightarrow \forall x\phi (x,y_{1},\dots ,y_{k}))}$

Andere erststufige Formalisierungen der natürlichen Zahlen, die mit der Peano-Arithmetik verwandt sind, sind beispielsweise die Robinson-Arithmetik und die primitiv rekursive Arithmetik, die auch Teile der Peano-Axiome benutzen.