Zentrische Streckung

Eine zentrische Streckung ist in der Geometrie eine Abbildung, die alle Strecken in einem bestimmten, gegebenen Verhältnis vergrößert oder verkleinert, wobei die Bildstrecken jeweils zu den ursprünglichen Strecken parallel sind. Definiert wird sie jedoch letztlich als Abbildung von Punkten. Als Beispiel dient das nebenstehende Bild: Ein Dreieck wird dabei auf ein neues Dreieck (dem Bilddreieck) so abgebildet, dass alle Seitenverhältnisse und auch Winkel erhalten bleiben, das Bilddreieck jedoch insgesamt größer ist. Im Fall des Beispiels haben sich alle Seiten um den Faktor ${\displaystyle 2}$ vergrößert. Die Position des Bildes wird insofern durch einen fixen Punkt ${\displaystyle Z}$ bestimmt, dass alle Punkte auf dem Bilddreieck mit ihrem „entsprechenden Punkt“ und ${\displaystyle Z}$ auf einer gemeinsamen Geraden liegen (im Falle der Eckpunkte sind diese Geraden eingezeichnet).

Zentrische Streckungen sind spezielle Ähnlichkeitsabbildungen, in der synthetischen Geometrie nennt man sie auch Homothetien.^[1]

Exakt definieren lässt sich die zentrische Streckung in der Fachsprache der linearen Algebra. Dort wird ebenfalls auf die in der Schulmathematik übliche Beschränkung auf die Dimensionen 2 und 3 verzichtet, was eine weit umfassendere Einsetzbarkeit des Konzepts in der Geometrie und ihren Anwendungen erlaubt: Eine zentrische Streckung ist in einem euklidischen Raum (dazu zählt zum Beispiel die Zahlenebene) eine Abbildung mit einem ausgezeichneten Punkt ${\displaystyle Z}$, dem Zentrum, die einem Punkt ${\displaystyle X}$ einen Punkt ${\displaystyle X'}$ so zuordnet, dass

${\displaystyle {\overrightarrow {ZX'}}=k\cdot {\overrightarrow {ZX}}}$

für eine feste reelle Zahl ${\displaystyle k\neq 0}$ ist. Der Wert ${\displaystyle k}$ heißt dabei der Streckfaktor. Der Punkt ${\displaystyle X}$ wird dabei auf der Gerade ${\displaystyle {\overline {ZX}}}$ so bewegt, dass der Abstand ${\displaystyle |ZX|}$ zum Zentrum mit ${\displaystyle |k|}$ multipliziert wird. Im Bild ist ${\displaystyle k=2}$. Vektoriell lässt sich eine zentrische Streckung beschreiben durch die Zuordnung

${\displaystyle {\vec {x}}\mapsto {\vec {z}}+k({\vec {x}}-{\vec {z}})}$,

wobei ${\displaystyle {\vec {x}},{\vec {z}}}$ die Ortsvektoren von ${\displaystyle X,Z}$ sind.

Da zentrische Streckungen über die Eigenschaft verfügen, dass jede Gerade ${\displaystyle g}$ stets auf eine dazu parallele Gerade abgebildet wird, handelt es sich um eine spezielle Dilatation.

Zentrische Streckungen haben vielfältige Anwendungen. Etwa sind sie in jedem Smartphone zur Vergrößerung oder Verkleinerung des Bildschirminhalts mit Fingergesten eingebaut. Sie verzerren dabei nicht den Bildinhalt.

1. ↑ Wilhelm Klingenberg: Lineare Algebra und Geometrie. Springer-Verlag, Berlin und Heidelberg 2013, ISBN 3-642-77646-9, S. 208.