Kvocienta grupo

En matematiko, aparte en grupo-teorio, kvocienta grupo estas grupo ricevata per identigo kune de elementoj de pli granda grupo per ekvivalentrilato.

Ekzemple, la cikla grupo de adicio module n povas esti konstruita el la entjeroj per identigo de la entjeroj, kiuj diferenciĝas per obloj de n, kaj per difino de grupa strukturo, kiu operacias sur tiaj klasoj (konataj kiel ekvivalento-klasoj) kiel apartaj entoj.

En kvociento de grupo, la ekvivalentklaso de la neŭtrala elemento estas ĉiam normala subgrupo de la originala grupo, kaj la aliaj ekvivalentklasoj estas la konjugitaj klasoj de ĉi tiu normala subgrupo. La kutima notacio por la rezultanta kvociento estas G/N, kie G estas la origina grupo kaj N estas la koncerna normala subgrupo.

Multo de la graveco de kvocientaj grupoj estas derivita de ilia rilato al homomorfioj. La unua teoremo pri izomorfeco asertas, ke la bildo de ĉiu grupo G sub homomorfio estas ĉiam izomorfa al kvociento de G. Aparte, la bildo de G sub homomorfio φ: G → H estas izomorfa al G / ker(φ), kie ker(φ) estas la kerno de φ.

Teorie, la nocio kvocienta grupo estas duala al la nocio subgrupo; ĉi tiuj estas la du manieroj de formado de pli malgranda grupo el pli granda. En teorio de kategorioj, kvocientaj grupoj estas ekzemploj de kvocientaj objektoj, kiuj estas dualaj al subobjektoj. La aliaj ekzemploj de kvocientaj objektoj estas kvocienta ringo, kvocienta spaco (lineara algebro), kvocienta spaco (topologio), kvocienta aro.