Producto vectorial

En matemáticas, el producto vectorial de Gibbs o producto cruz es una operación binaria entre dos vectores en un espacio tridimensional. El resultado es un vector perpendicular a los vectores que se multiplican, y por lo tanto normal al plano que los contiene. Debido a su capacidad de obtener un vector perpendicular a otros dos vectores, cuyo sentido varía de acuerdo al ángulo formado entre estos dos vectores, esta operación es aplicada con frecuencia para resolver problemas matemáticos, físicos o de ingeniería.

Como el producto punto, depende del métrico del espacio euclídeo, pero a diferencia del producto punto, también depende de una elección de orientación (o "mano") del espacio (por eso se necesita un espacio orientado). En relación con el producto cruzado, el producto exterior de vectores puede utilizarse en dimensiones arbitrarias (con un resultado bivector o forma diferencial) y es independiente de la orientación del espacio.

El producto se puede generalizar de varias maneras, utilizando la orientación y la estructura métrica al igual que para el producto cruzado tradicional de 3 dimensiones, uno puede, en n dimensiones, tomar el producto de n - 1 vectores para producir un vector perpendicular a todos ellos. Pero si el producto se limita a productos binarios no triviales con resultados vectoriales, sólo existe en tres y siete dimensiones.^[1]​ Sin embargo, el «producto cruzado en siete dimensiones» tiene propiedades indeseables; por ejemplo, no satisface la identidad de Jacobi, por lo que no se utiliza en física matemática para representar cantidades como el espacio-tiempo multidimensional.^[2]​

1. ↑ Massey, William S. (December 1983). «Productos cruzados de vectores en espacios euclídeos de dimensión superior». The American Mathematical Monthly 90 (10): 697-701. JSTOR 2323537. S2CID 43318100. doi:10.2307/2323537. Archivado desde semanticscholar.org/1f6b/ff1e992f60eb87b35c3ceed04272fb5cc298.pdf el original el 26 de febrero de 2021. «Si uno requiere sólo tres propiedades básicas del producto cruzado... resulta que un producto cruzado de vectores existe sólo en el espacio euclídeo de 3 dimensiones y 7 dimensiones.» 
2. ↑ Arfken, George B. Métodos matemáticos para físicos (4th edición). Elsevier.