Fonction q-gamma

La fonction q-gamma est une fonction mathématique qui est une généralisation q-analogue de la fonction gamma ordinaire^[1].

Elle est définie par : $${\displaystyle \Gamma _{q}(x)=(1-q)^{1-x}\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {1-q^{n+1}}{1-q^{n+x}}}=(1-q)^{1-x}\,{\frac {(q;q)_{\infty }}{(q^{x};q)_{\infty }}}}$$pour ${\displaystyle |q|<1}$, et$${\displaystyle \Gamma _{q}(x)={\frac {(q^{-1};q^{-1})_{\infty }}{(q^{-x};q^{-1})_{\infty }}}(q-1)^{1-x}q^{\binom {x}{2}}}$$pour ${\displaystyle |q|>1}$.

Ici ${\displaystyle (\cdot ;\cdot )_{\infty }}$ est le q-symbole de Pochhammer infini. La fonction q-gamma est solution de l'équation fonctionnelle suivante :$${\displaystyle \Gamma _{q}(x+1)={\frac {1-q^{x}}{1-q}}\Gamma _{q}(x)=[x]_{q}\Gamma _{q}(x)}$$De plus, la fonction q-gamma vérifie le q-analogue du théorème de Bohr-Mollerup^[2]. Pour tout entier n positif ou nul,$${\displaystyle \Gamma _{q}(n)=[n-1]_{q}!}$$où ${\displaystyle [\cdot ]_{q}}$ est la fonction q-factorielle. Ainsi, la fonction q-gamma peut être considérée comme prolongeant la q-factorielle aux nombres réels, de la même manière que la fonction gamma prolonge la factorielle. La fonction gamma apparaît également comme la limite^[3] :$${\displaystyle \lim _{q\to 1\pm }\Gamma _{q}(x)=\Gamma (x)}$$