Intervallo di confidenza

In statistica, quando si stima un parametro, è spesso insufficiente individuare un singolo valore: è opportuno allora accompagnare la stima con un intervallo di valori probabili per quel parametro, definito intervallo di confidenza (o intervallo di fiducia, o intervallo fiduciario).^[1]

Va osservato che l'espressione “intervallo di confidenza”, ormai entrata irreversibilmente nell'uso italiano, è una traduzione approssimativa dell'espressione inglese confidence interval, nella quale però confidence sta per fiducia.

Se ${\displaystyle U}$ e ${\displaystyle V}$ sono variabili casuali con distribuzioni di probabilità che dipendono da qualche parametro ${\displaystyle \theta ,}$ e ${\displaystyle \Pr(U<\theta <V)\leq \beta }$ (dove ${\displaystyle \beta }$ è un numero tra 0 e 1), allora l'intervallo casuale ${\displaystyle (U,V)}$, calcolato sul campione osservato, è un intervallo di confidenza al ${\displaystyle [(1-\beta )\times 100]\%}$ per ${\displaystyle \theta }$. I valori estremi dell'intervallo di confidenza si chiamano limiti di confidenza.

A questo intervallo di confidenza si associa quindi un valore di probabilità cumulativa che caratterizza, indirettamente in termini di probabilità, la sua ampiezza rispetto ai valori massimi assumibili dalla variabile aleatoria. Cioè il valore di probabilità cumulativa indica la probabilità che l'evento casuale descritto dalla variabile aleatoria cada all'interno di suddetto intervallo di confidenza, graficamente pari all'area sottesa dalla curva di distribuzione di probabilità della variabile aleatoria nell'intervallo considerato.

È bene non confondere l'intervallo di confidenza con la probabilità. Perciò l'espressione "vi è un livello di confidenza del 95% che ${\displaystyle \mu }$ sia nell'intervallo", non indica la probabilità che ${\displaystyle \mu }$ cada nell'intervallo, in quanto ${\displaystyle \mu }$ non è una variabile aleatoria nella logica frequentista (${\displaystyle \mu }$ è invece interpretata come una costante non nota); bensì, indica che nel 95% dei casi in cui questa tecnica viene adottata, questa produce un intervallo che contiene il valore vero di ${\displaystyle \mu }$.^[2]