Lemma di Gauss (teoria dei numeri)

In teoria dei numeri, il lemma di Gauss, che ha preso il nome da Carl Friedrich Gauss, è un teorema utilizzato in alcune dimostrazioni della reciprocità quadratica.

Per ogni primo dispari ${\displaystyle p}$, sia ${\displaystyle a}$ un intero coprimo con ${\displaystyle p}$. Si considerino gli interi:

${\displaystyle a,2a,3a,\ldots ,{\frac {p-1}{2}}a}$

e i loro residui modulo ${\displaystyle p}$ ridotti nell'intervallo ${\displaystyle \left[-{\frac {p}{2}},{\frac {p}{2}}\right]}$. Sia ${\displaystyle s}$ il numero di questi residui che sono negativi. Allora:

${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)=(-1)^{s},}$

dove ${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)}$ è il simbolo di Legendre. Da un punto di vista piuttosto sofisticato, ciò rappresenta un caso di trasferimento.