Convolutie

Convolutie (samenvouwing) is een wiskundige bewerking, aangeduid door ${\displaystyle \,*\,}$ (asterisk) of ${\displaystyle \,\otimes \,}$, op twee functies met als resultaat een nieuwe functie: de convolutie van beide. Synoniem voor convolutie is Duhamel-integraal of -som, Faltung-integraal of -som (Duits: vouwen). Een interpretatie van de convolutie is de transformatie van een van beide functies door de andere. Daarbij is het resultaat de oppervlakte van de overlap van beide functies, waarbij de tweede functie verschuift.

Het voorbeeld in figuur 1 kan men als volgt bekijken:

• De functies ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle g}$ zijn blokfuncties met een waarde 1 op het interval ${\displaystyle [-0{,}5;0{,}5]}$, en de waarde 0 elders.
• Aangezien deze functies symmetrisch zijn rond 0 (met andere woorden: voor elke ${\displaystyle x}$ geldt dat ${\displaystyle f(x)=f(-x)}$ en ${\displaystyle g(x)=g(-x)}$), is de gespiegelde versie van de functie, gelijk aan de functie zelf.
• De functie ${\displaystyle g}$ wordt dan verschoven met een factor ${\displaystyle t}$, waarbij ${\displaystyle t}$ varieert van ${\displaystyle -\infty }$ tot ${\displaystyle +\infty }$
• Op het moment dat ${\displaystyle t}$ gelijk is aan –1, is er nog geen enkele overlap voor beide functies. Immers, de verschuiving van ${\displaystyle g}$ met een factor ${\displaystyle t=-1}$ resulteert in een blokfunctie ${\displaystyle g}$ die een waarde 1 heeft voor alle waarden ${\displaystyle \tau }$ die voldoen aan ${\displaystyle -1{,}5<\tau <-0{,}5}$.
• Zodra ${\displaystyle t}$ echter groter wordt, is er een overlap van beide functies. Deze begint zeer klein, maar wordt maximaal als beide functies elkaar volledig overlappen. Dit is het geval bij ${\displaystyle t=0}$. Daar is dus ook de gemeenschappelijke oppervlakte het grootst.
• Daarna vermindert de overlap weer, en daalt de functie ${\displaystyle f*g}$.

Een gelijksoortige analyse kan men geven bij het voorbeeld in figuur 2.