Normale verdeling

Normale verdeling
Kansdichtheid  standaardnormale verdeling
Verdelingsfunctie Kleuren komen overeen met de kansdichtheden hierboven
Parameters	${\displaystyle \mu }$ locatie (reëel) ${\displaystyle \sigma ^{2}>0}$ gekwadrateerde schaal (reëel)
Drager	${\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )}$
Kansdichtheid	${\displaystyle {\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi \ }}}}\;\exp \left(-{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}$
Verdelingsfunctie	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(1+\mathrm {erf} \ {\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)}$
Verwachtingswaarde	${\displaystyle \mu }$
Mediaan	${\displaystyle \mu }$
Modus	${\displaystyle \mu }$
Variantie	${\displaystyle \sigma ^{2}}$
Scheefheid	0
Kurtosis	0
Entropie	${\displaystyle \ln \left(\sigma {\sqrt {2\ \pi \ e\ }}\right)}$
Moment- genererende functie	${\displaystyle M_{X}(t)=\exp \left(\mu \ t+{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)}$
Karakteristieke functie	${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\exp \left(\mu \ i\ t-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)}$
Portaal    Wiskunde

De normale verdeling of gaussverdeling, genoemd naar de Duitse wiskundige Carl Friedrich Gauss, is een continue kansverdeling met twee parameters, de verwachtingswaarde ${\displaystyle \mu }$ en de standaardafwijking ${\displaystyle \sigma }$, waarvan de kansdichtheid wordt gegeven door de volgende Gaussische functie:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi \ }}}}\ e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}}$

De kansdichtheid is symmetrisch rond ${\displaystyle \mu }$, hoog in het midden, en wordt naar lage en hoge waarden steeds kleiner zonder ooit echt nul te worden. Door de vorm wordt deze ook wel klokkromme of gausscurve genoemd.

De normale verdeling wordt wel genoteerd als ${\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2})}$-verdeling, wat wil zeggen dat het een normale verdeling is met verwachtingswaarde ${\displaystyle \mu }$ en variantie ${\displaystyle \sigma ^{2}}$.

Zoals voor elke kansdichtheid is de integraal over het hele definitiegebied precies gelijk aan 1:

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi \ }}}}\ e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}{\rm {d}}x=1}$

Veel verschijnselen zijn benaderend te beschrijven met behulp van een normale verdeling. Het gaat dan om verschijnselen waarvan de verdeling symmetrisch geconcentreerd is rond een centrale waarde en afwijkingen van deze centrale waarde steeds onwaarschijnlijker worden naarmate de afwijking groter is. Soms is het verschijnsel de optelsom van een groot aantal effecten die elkaar niet beïnvloeden. De centrale limietstelling geeft in zo'n geval de voorwaarden waaronder het totaal normaal verdeeld zal zijn. De normale verdeling is niet altijd een goede benadering. Zo zijn andere verdelingen beter als er sprake is van exponentiële groei, zoals het geval is bij onder meer inkomen, prijzen en bevolkingsomvang waarbij er een scheefheid naar rechts is. Verdelingen als de lognormale verdeling of de paretoverdeling kunnen dan een betere benadering geven.