Poissonverdeling

Poissonverdeling
Kansfunctie
Verdelingsfunctie De horizontale as is in beide figuren de index ${\displaystyle k}$. Merk op dat de kansfunctie, dus ook de verdelingsfunctie, alleen voor gehele waarden van ${\displaystyle k}$ is gedefinieerd. Het verbinden van de lijnen duidt niet op continuïteit.
Parameters	${\displaystyle \lambda \in (0,\infty )}$
Drager	${\displaystyle k\in \{0,1,2,\ldots \}}$
Kansfunctie	${\displaystyle {\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}}$
Verdelingsfunctie	${\displaystyle {\frac {\Gamma (k+1,\lambda )}{k!}}}$
Verwachtingswaarde	${\displaystyle \lambda }$
Mediaan	N/A
Modus	${\displaystyle \lfloor \lambda \rfloor }$
Variantie	${\displaystyle \lambda }$
Scheefheid	${\displaystyle \lambda ^{-1/2}}$
Kurtosis	${\displaystyle \lambda ^{-1}}$
Entropie	${\displaystyle \lambda [1\!-\!\ln(\lambda )]\!+\!e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}\ln(k!)}{k!}}}$
Moment- genererende functie	${\displaystyle \exp(\lambda (e^{t}-1))}$
Karakteristieke functie	${\displaystyle \exp(\lambda (e^{it}-1))}$
Portaal    Wiskunde

De poissonverdeling is een discrete kansverdeling die met name van toepassing is bij het tellen van bepaalde voorvallen gedurende een gegeven tijdsinterval, afstand, oppervlakte, volume etc. De poissonverdeling is genoemd naar Siméon Poisson, die deze kansverdeling ontdekte en samen met zijn statistische theorie in 1838 publiceerde in zijn werk Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile.

Als de stochastische variabele ${\displaystyle X}$ het aantal voorvallen telt gedurende een gegeven interval van tijd, plaats, afstand , e.d., dan is volgens de poissonverdeling de kans dat er precies ${\displaystyle k}$ voorvallen plaatsvinden, met ${\displaystyle k=0,1,2,\ldots }$ een natuurlijk getal:

${\displaystyle P(X=k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }}$

Hierin is:

• ${\displaystyle e}$ het grondtal van de natuurlijke logaritme, ${\displaystyle e=2{,}71828\ldots }$,
• ${\displaystyle k!}$ de faculteit van ${\displaystyle k}$,
• ${\displaystyle \lambda }$ een positief reëel getal, gelijk aan het verwachte aantal voorvallen in het interval. Als er bijvoorbeeld 1 voorval elke 2 minuten wordt verwacht, en het tijdsinterval is 10 minuten, dan kan een poissonverdeling met ${\displaystyle \lambda =5}$ als model worden gebruikt.