Dzielnik

Ten artykuł dotyczy pojęcia w matematyce. Zobacz też: miejscowość o tej nazwie.

Dzielnik – dwuznaczne pojęcie arytmetyczne:

• drugi, prawy argument dzielenia – jeśli ${\displaystyle a:b=q,}$ to ${\displaystyle a}$ nazywa się dzielną, ${\displaystyle b}$ – dzielnikiem, a ${\displaystyle q}$ – ilorazem^[1]. Tak rozumiany dzielnik odpowiada mianownikowi ułamka;

• liczba całkowita, która dzieli bez reszty daną liczbę całkowitą^[1]. To, że liczba ${\displaystyle a}$ dzieli liczbę ${\displaystyle b}$ oznacza, że iloraz ${\displaystyle b:a}$ jest całkowity; zapisuje się to^[2]: ${\displaystyle a|b.}$ Formalnie:

${\displaystyle a|b\Leftrightarrow b:a\in \mathbb {Z} .}$

Innymi słowy druga z tych liczb jest iloczynem tej pierwszej i jakiejś innej całkowitej:

${\displaystyle a|b\Leftrightarrow \exists q\in \mathbb {Z} :b=qa.}$

Dzielnik liczby to każda liczba, której wielokrotnością jest ta zadana; relacja bycia dzielnikiem – czyli podzielność – to relacja odwrotna do bycia wielokrotnością^{[potrzebny przypis]}. Ta definicja jest nieco szersza – dzielenie przez zero nie jest określone, przez co zero nie może być dzielnikiem w pierwszym znaczeniu^[1]; z drugiej strony zero ma wielokrotność – równą jemu samemu, przez co w dalszej części artykułu przyjęto, że zero dzieli samo siebie ${\displaystyle (0|0).}$

Relacja podzielności to jeden z fundamentów arytmetyki, zarówno elementarnej, jak i teoretycznej, czyli teorii liczb. Przez podzielność definiuje się:

• podstawowe typy liczb naturalnych jak liczba parzysta, pierwsza czy złożona;
• działania jak największy wspólny dzielnik (NWD);
• inne relacje jak względna pierwszość i przystawanie (kongruencja).

O podzielności liczb mówią niektóre twierdzenia jak lemat Euklidesa. Pojęcie dzielnika wprowadza się też w bardziej ogólnych strukturach algebraicznych jak półgrupy, zwłaszcza pierścienie.