Liczby zespolone

Liczby zespolone – uogólnienie zbioru liczb rzeczywistych zawierające jednostkę urojoną ${\displaystyle i}$ – liczbę, której kwadrat, czyli druga potęga, wynosi minus jeden^[4]: ${\displaystyle i^{2}=-1.}$ Taki obiekt nie występuje na rzeczywistej osi liczbowej, jednak można go skonstruować za pomocą liczb rzeczywistych, co opisano dalej. Iloczyny jednostki urojonej i liczb rzeczywistych – czyli postaci ${\displaystyle bi,\ b\in \mathbb {R} }$ – są nazywane liczbami urojonymi. Liczbami zespolonymi nazywa się dowolną sumę liczby rzeczywistej i urojonej, czyli wyrażenia algebraiczne postaci ${\displaystyle a+bi,}$ gdzie ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$^[4].

Zbiór ten zwykle oznacza się dużą literą ${\displaystyle \mathbb {C} }$^[2]. Można w nim wykonywać cztery podstawowe działania arytmetyczne, czyli dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie przez wszystkie liczby oprócz zera; są przy tym zachowane podstawowe własności tych działań jak:

• przemienność i łączność dodawania oraz mnożenia;
• rozdzielność mnożenia względem dodawania i odejmowania^[4].

Liczby zespolone można też:

• potęgować z wykładnikiem naturalnym dodatnim, a niektóre liczby zespolone podnosić też do innych potęg, w tym zespolonych^[3];
• pierwiastkować, rozwiązując odpowiednie równania algebraiczne lub podnosząc te liczby do potęg ułamkowych;
• logarytmować^[5].

Obliczenia na liczbach zespolonych bywają prostsze przy użyciu ich alternatywnych postaci, znanych jako trygonometryczna i wykładnicza^[4], co opisano niżej.

Liczby zespolone mają standardowe przedstawienie geometryczne – można je rozumieć jako punkty na płaszczyźnie, na której leży także oś rzeczywista, lub jako ich wektory wodzące, tj. prowadzące do nich z zera^[4]. Taka dwuwymiarowa konstrukcja jest znana jako płaszczyzna zespolona lub płaszczyzna Gaussa^[4]. Można na niej wprowadzać różne układy współrzędnych:

• układ prostokątny (kartezjański) opisuje liczbę zespoloną ${\displaystyle z=a+bi}$ za pomocą uporządkowanej pary liczb rzeczywistych ${\displaystyle (a,b),}$ nazywanych odpowiednio częścią rzeczywistą i urojoną, oznaczanych ${\displaystyle \operatorname {Re} z=a,\operatorname {Im} z=b}$^[4];
• układ biegunowy opisuje każdą z tych liczb za pomocą odległości od zera – początku tego układu – oraz miary kąta między tym wektorem a półprostą liczb dodatnich. Wielkości te są znane jako moduł i argument główny, oznaczane ${\displaystyle |z|,\arg z;}$ za ich pomocą konstruuje się wspomniane postaci trygonometryczne i wykładnicze^[4].

Diagram przedstawiający płaszczyznę zespoloną (Gaussa) z kartezjańskimi osiami współrzędnych jest znany jako diagram Arganda^[1]; jego przykład podano obok. Istnieją też inne geometryczne opisy tego zbioru liczbowego, np. sfera Riemanna rozszerzająca liczby zespolone o nieskończoność^[6].

Liczby zespolone są rozważane od XVI wieku^[7], kiedy użyto ich w algebrze do rozwiązywania równań trzeciego stopnia, inaczej sześciennych. Odtąd przenikły do różnych działów matematyki i jej zastosowań:

• okazały się użyteczne w trygonometrii i opartej na niej analizie harmoniczej^[8]. Tych dyscyplin używa się do opisu drgań, fal i sygnałów, przez co liczby zespolone zastosowano w różnych naukach empirycznych i technicznych^[4] jak fizyka, elektrotechnika i elektronika;
• powstał dział matematyki oparty w całości na tych liczbach – analiza zespolona, która również znalazła zastosowania w matematyce i poza nią^[9]. Niektóre z jej problemów uznano za jedne z najdonioślejszych w całej matematyce^[10][11].

W algebrze abstrakcyjnej mówi się, że liczby zespolone tworzą ciało i są rozszerzeniem ciała liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną^[12]. Podano różne konstrukcje tej struktury algebraicznej, oparte na parach uporządkowanych, macierzach, przekształceniach liniowych płaszczyzny kartezjańskiej i na pierścieniach ilorazowych, co opisano niżej. Opisano też uogólnienia liczb zespolonych jak kwaterniony, inne liczby hiperzespolone i inne algebry Clifforda.