Cotangente

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In matematica, in particolare in trigonometria, la cotangente di un angolo è definita come la proiezione sull'asse ${\displaystyle x}$ del punto di incontro tra il prolungamento del secondo lato dell'angolo orientato e la retta che tange la circonferenza goniometrica nel punto ${\displaystyle (0;1)}$. Spesso si usa definirla anche tramite il rapporto tra il coseno ed il seno dello stesso angolo^[1]:

${\displaystyle \cot x={\frac {\cos x}{\sin x}}.}$

Attenzione: la cotangente non è il reciproco della tangente: ${\displaystyle \cot x={\frac {1}{\tan x}}}$, come molti libri di matematica riportano, infatti è facile notare che per ${\displaystyle x={{\pi } \over {2}}}$ le due funzioni sono diverse.^[2]

In un triangolo rettangolo, la cotangente di un angolo acuto corrisponde al rapporto fra il cateto ad esso adiacente e quello opposto.

La cotangente è una funzione continua nel dominio ed è periodica con periodo minimo ${\displaystyle \pi }$, cioè ${\displaystyle \cot x=\cot(x+k\pi ),k\in \mathbb {Z} }$. Non è una funzione limitata, né invertibile. Tuttavia se si restringe il dominio all'intervallo ${\displaystyle (0,\pi )}$ la funzione cotangente ristretta risulta invertibile in quanto strettamente monotona (in particolare strettamente decrescente) in tale intervallo. La funzione inversa della cotangente ristretta all'intervallo ${\displaystyle (0,\pi )}$ prende il nome di arcocotangente.

La derivata della funzione cotangente è

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cot x=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}=-(1+\cot ^{2}x),}$^[3]

mentre l'insieme delle sue funzioni primitive è:

${\displaystyle \int \cot {x}\,\mathrm {d} x=\ln {\left|\sin {x}\right|+c}.}$

Lo sviluppo di Taylor della funzione cotangente (qui arrestato al quinto ordine) è:

${\displaystyle \cot x={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}-{\frac {2x^{5}}{945}}+o(x^{6}).}$

Inoltre la cotangente è una funzione dispari e ciò comporta che:

${\displaystyle \cot(-x)=-\cot x.}$

La seguente tabella elenca i principali valori notevoli della funzione cotangente:

x in radianti	0	${\displaystyle {\frac {\pi }{12}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}$	${\displaystyle {\frac {5\pi }{12}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}}$	${\displaystyle 2\pi }$
x in gradi	0°	15°	30°	45°	60°	75°	90°	180°	270°	360°
cot(x)	${\displaystyle \nexists }$	${\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	1	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}$	${\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}$	0	${\displaystyle \nexists }$	0	${\displaystyle \nexists }$