Serie di potenze

Questa voce o sezione sull'argomento matematica non cita le fonti necessarie o quelle presenti sono insufficienti.

---

Puoi migliorare questa voce aggiungendo citazioni da fonti attendibili secondo le linee guida sull'uso delle fonti. Segui i suggerimenti del progetto di riferimento.

In matematica, una serie di potenze in una variabile è una serie di funzioni della forma:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-c\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-c)+a_{2}(x-c)^{2}+a_{3}(x-c)^{3}+\cdots }$

dove i coefficienti ${\displaystyle a_{n}}$, il centro ${\displaystyle c}$ e la variabile argomento ${\displaystyle x}$ assumono, usualmente, valori reali o complessi^[1]. In matematica sono studiate anche serie di potenze di più variabili reali e complesse e serie di potenze di entità non numeriche (matrici, operatori, elementi di strutture algebriche, variabili formali, ...). Si considerano anche serie di potenze negative e di potenze intere sia negative che naturali.

Serie di potenze di uso frequente sono quelle ottenute da sviluppi di Taylor di funzioni particolari (molti esempi si trovano nella voce serie di Taylor e in quelle sulle funzioni speciali).

In molte situazioni interessano prevalentemente serie con il centro ${\displaystyle c}$ uguale a zero, ad esempio quando si considera una serie di Maclaurin. In questi casi la serie di potenze assume la forma più semplice

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdots .}$

Da questa forma risulta evidente che le serie di potenze sono estensioni dei polinomi.

Le serie di potenze sono trattate primariamente nell'analisi matematica, ma svolgono un ruolo importante anche nella combinatoria (come serie formali di potenze e con il ruolo delle funzioni generatrici) e nell'ingegneria elettrica (con il nome di trasformata zeta). La familiare notazione decimale per i numeri reali compresi fra ${\displaystyle 0}$ e ${\displaystyle 1}$ si può considerare un esempio di serie di potenze con la variabile argomento ${\displaystyle x}$ fissata al valore 1/10 (come la notazione decimale per gli interi si può considerare un caso particolare di polinomio). Inoltre il concetto di numero p-adico della teoria dei numeri è strettamente collegato a quello di serie di potenze.