Teorema del punto fisso di Brouwer

In matematica, il teorema di Brouwer è un risultato nell'ambito della topologia che mette in relazione il concetto di funzione continua con la proprietà di avere un punto fisso. Questo risultato deve il nome a Luitzen Brouwer che ne dimostrò la formulazione generale nel 1910 insieme a Jacques Hadamard.

Il teorema può essere formulato in diversi modi a seconda del contesto in cui è utilizzato. Nella sua versione più semplice si può enunciare nel seguente modo:

sia ${\displaystyle D}$ un disco chiuso nel piano euclideo, allora ogni funzione ${\displaystyle f:D\to D}$ continua ammette almeno un punto fisso.^[1]

L'estensione al caso di dimensione maggiore, si ottiene considerando una funzione continua da una palla chiusa nello spazio euclideo in sé stessa.^[2]

Si può anche ottenere una versione più generale, che segue dalla precedente per il fatto che ogni sottoinsieme convesso e compatto di uno spazio euclideo è omeomorfo a una palla chiusa della stessa dimensione:^[3] ogni funzione continua da un sottoinsieme convesso e compatto in sé ha almeno un punto fisso.^[4]

Un'ulteriore generalizzazione è il teorema del punto fisso di Schauder: un operatore completamente continuo, definito da un sottoinsieme convesso, chiuso e limitato di uno spazio di Banach in sé stesso, ha almeno un punto fisso.^[5] Questo risultato è poi esteso da altri teoremi, tra cui il teorema di Kakutani e il teorema di Tikhonov.