Mediatriu

La mediatriu d'un segment és la recta perpendicular que passa pel seu punt mitjà (Significat 1). La mediatriu és la línia recta perpendicular a aquest segment traçada pel seu punt mitjà (Significat 2).

L'equivalència entre les dues definicions es pot veure així: sigui el segment ${\displaystyle AB}$ d'extrems els punts ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$.

• D'una banda, si la recta ${\displaystyle m}$ n'és la mediatriu, ${\displaystyle M}$ n'és el punt mitjà i ${\displaystyle P}$ és un punt qualsevol de la mediatriu ${\displaystyle m}$, els triangles ${\displaystyle \triangle PMA}$ i ${\displaystyle \triangle PMB}$ són triangles rectangles amb l'angle recte a ${\displaystyle M}$ amb un catet comú, ${\displaystyle PM}$ i dos catets iguals, ${\displaystyle {\overline {AM}}={\overline {MB}}}$. En conseqüència, els dos triangles ${\displaystyle \triangle PMA}$ i ${\displaystyle \triangle PMB}$ són iguals i, per tant, també ho són les respectives hipotenuses ${\displaystyle {\overline {AP}}={\overline {PB}}}$, cosa que prova l'equidistància del punt ${\displaystyle P}$ als dos extrems ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ del segment.

• Inversament, si ${\displaystyle P}$ és un punt equidistant dels extrems ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ del segment ${\displaystyle AB}$, ${\displaystyle {\overline {AP}}={\overline {PB}}}$, i ${\displaystyle m}$ és la recta perpendicular a aquest segment que passa pel punt ${\displaystyle P}$, considerem el punt ${\displaystyle M}$ d'intersecció del segment amb la recta ${\displaystyle m}$. Com abans, els triangles ${\displaystyle \triangle PMA}$ i ${\displaystyle \triangle PMB}$ són triangles rectangles amb l'angle recte a ${\displaystyle M}$ amb un catet comú, ${\displaystyle PM}$ i les respectives hipotenuses iguals, ${\displaystyle {\overline {AP}}={\overline {PB}}}$. Els dos triangles,${\displaystyle \triangle PMA}$ i ${\displaystyle \triangle PMB}$, són, doncs, iguals i ho són també els altres dos respectius catets ${\displaystyle {\overline {AM}}={\overline {MB}}}$. Per tant, ${\displaystyle M}$ és el punt mitjà del segment ${\displaystyle AB}$ i ${\displaystyle m}$ és la recta perpendicular al segment que passa pel seu punt mitjà.