Teorema de Lindemann-Weierstrass

En matemàtiques, el teorema de Lindemann-Weierstrass és un resultat molt útil per establir la transcendència d'un nombre. Afirma que si ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\dots \alpha _{n}}$ són nombres algebraics linealment independents sobre el cos dels nombres racionals ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, llavors ${\displaystyle e^{\alpha _{1}},e^{\alpha _{2}},\dots e^{\alpha _{n}}}$ són algebraicament independents sobre ℚ; és a dir, el grau de transcendència de l'extensió del cos ${\displaystyle \mathbb {Q} (e^{\alpha _{1}},e^{\alpha _{2}},\dots e^{\alpha _{n}})}$ sobre ℚ és n.

Rep aquest nom en honor dels matemàtics alemanys Karl Weierstrass i Ferdinand von Lindemann. D'una banda Lindemann va demostrar el 1882 que ${\displaystyle e^{\alpha }}$ és transcendent per tot ${\displaystyle \alpha }$ algebraic no nul,^[1] i així va establir que π és transcendent. Posteriorment, el 1885, Weierstrass va demostrar la forma més general d'aquest teorema.^[2]

Aquest teorema, juntament amb el teorema de Gelfond-Schneider, està generalitzat per la conjectura de Schanuel.