Pascalsches Dreieck

Das Pascalsche (oder Pascal’sche) Dreieck ist eine Form der grafischen Darstellung der Binomialkoeffizienten ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$, die auch eine einfache Berechnung dieser erlaubt. Sie sind im Dreieck derart angeordnet, dass jeder Eintrag die Summe der zwei darüberstehenden Einträge ist. Dieser Sachverhalt wird durch die Gleichung

${\displaystyle {\binom {n+1}{k+1}}={\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k+1}}}$

beschrieben. Dabei kann die Variable ${\displaystyle n}$ als Zeilenindex und ${\displaystyle k}$ als Spaltenindex interpretiert werden, wobei die Zählung mit Null beginnt (also erste Zeile ${\displaystyle n=0}$, erste Spalte ${\displaystyle k=0}$). Beginnt man an den Rändern mit Einträgen mit dem Wert ${\displaystyle 1}$, so ergeben sich dadurch genau die Binomialkoeffizienten.

				${\displaystyle {\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}}$
			${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$		${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}}$
		${\displaystyle {\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}}}$		${\displaystyle {\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}}$		${\displaystyle {\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}}$
	${\displaystyle {\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}}}$		${\displaystyle {\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}}$		${\displaystyle {\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}}$		${\displaystyle {\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle {\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}}}$		${\displaystyle {\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}}}$		${\displaystyle {\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}}}$		${\displaystyle {\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}}}$		${\displaystyle {\begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}}}$

Der Name geht auf Blaise Pascal zurück. Das pascalsche Dreieck war jedoch schon früher bekannt und wird deshalb auch heute noch nach anderen Mathematikern benannt. In China spricht man vom Yang-Hui-Dreieck (nach Yang Hui), in Italien vom Tartaglia-Dreieck (nach Nicolo Tartaglia) und im Iran vom Chayyām-Dreieck (nach Omar Chayyām).